美国人的数学真的不好吗?美国如何变成数学超级强国

美国人的数学真的不好吗?美国如何变成数学超级强国
May 16 16:12 2018 算法与数学之美 打印此篇文章

普林斯顿高等研究院
1976年,美国立国两百年之际,美国数学会在年会上邀请多位学者专家, 畅谈美国的数学发展史,事后将讲稿集成《美国数学两百年纪念》 (The Bicentennial Tribute to American Mathematics)一书。我们想根据这本书,谈谈美国如何从数学的蛮荒地,演变成今日数学的超级强国。
从十七世纪开始,欧洲有大批的移民来到美洲。虽然同时期的欧洲开始了科学革命, 数学急速发展起来,美洲的移民却胼手胝足,为其生活奋斗,科学及数学的园地自然就像其土地一样,还是一片蛮荒。这种情形一直到十八世纪完了几乎都没有什么改变,1803年哈佛大学的入学考试只考最基本的算术就是一个明证。
十九世纪的前半,在美国流行着两种想法,自然神学(Natural Theology) 及培根哲学(Bacanian Philosophy),使得科学,虽然不一定是数学,有所进展。自然神学认为人可经由发现自然的规律而沐浴于神的荣耀,确认神的存在。这种想法是清教徒世界观的一部分,当然大大影响了十七、八世纪新大陆的学校, 也鼓励了十九世纪的美国从事科学工作。
培根哲学则强调三件事:收集资料;不可能有一以贯之的大道理;科学以改善人类福只为目标。在一片开疆拓土声中,这两种想法使他们发展了天文学、动植物学及地质学,以标定并了解日益扩张的新大陆。
虽然牛顿的传统使得英国在科学革命的初期占有非凡的地位,然而由于英国坚持牛顿笨拙的微积分符号,自外于欧洲大陆的科学发展,十八世纪的数学重心就移往欧洲大陆。虽然自然神学与培根哲学这两种想法都鼓励科学的研究,也不排斥数学,但其想法及大部分移民的来源地英国,却无法提供数学教育的典范。
在这样的情况下,唯一对数学发展有所刺激的是测量及天文。美国是新的地方,需要测量来标定海岸线及内陆各地,需要航海图及航海知识使船舰方便来往。这些工作的科学基础在于天文学及相关的数学。美国独立之后的第一位数学家Bowditch(1773~1838年),自己学会了一些数学,写了一本《美洲实用航海》(American Practical Navigator)。后来他将法国数学家Laplace(1749~1827年)的巨作《天体力学》(Mécanique Céleste) 译成英文并做评注。从航海到天文学,许多人就是这样由数学的应用朝理论的方向前进了一步。

「美国海岸测量处」(United States Coast Survey),这个政府机关也在需求的情况下成立。第三任总统Jefferson(1801~1809年在任)请了瑞士的Hassler 来做处长。Hassler 强调测量需要有深厚的科学与数学的训练, 其后的继任者都能保持这个传统。因此这个机构非但精确地测量了美国的大西洋海岸、墨西哥湾、湾内的水流、海岸的深度等等,而且也让有数学能力的人能从事与数学有关的工作。
另一重要机构是1849年成立的「航海历书处」(Nautical Almanac);它需要更多的天文知识,更多的数学计算,也培育了更多的数学人才。此外,十九世纪的美国逐渐走向工业化,具有数学能力的工业人才逐渐受到重视,其需求量也逐渐增加。工业界与政府也都转而关注高等学校中的数学教育。
十七、八世纪的美国教育是深受英国影响的。英国人办教育的目的是要培养绅士与教士。他们当然需要数学,但那是为了心智及逻辑的训练,所以层次不高。1820年以前,在大学所教的数学只有算术、简单的代数、没有证明的欧氏几何学,还有一点点的测量、三角及锥线。而且纵使是较高等的数学,其教法不外就是要学生强记,1830年时,耶鲁大学学生还因不满数学的教法而发生暴动──称为「锥线暴动」。在南北战争之前,很少有学校教微积分,几乎没有学校要求该科为必修。大学的数学只是通识教育的一部分,学生根本没有专攻的可能。
1812年英美发生战争,双方交恶。美国的教育逐渐摆脱英国的模式,各大学各自寻求更富变化的课程,以符合美国立国的民主精神。他们转而引进法国的数学课程与课本,因为大革命(1789年)之后,法国人在高等教育上做了重大的改革,数学教育尤其受到重视。在诸大学中哈佛及耶鲁不用说,西点军校之提倡数学教育及模仿法国军事学校与工艺大学(École polytechnique) 的课程也非常成功,使得它的毕业生有的成为出色的测量人员、工程人员,有的则到各处新成立的大学推广新的数学课程。这时期的教育改革虽然没有产生一流的数学家,但产生了一些能培养更下一代数学家的数学教师。
到了十九世纪中叶,工业界及政府有了足够的财力,也认识到科学教育的重要,纷纷资助各大学充实科学课程与设备,或成立新的、以农工为主的大学,为美国的科学与数学的发展奠下良好的基础。
Peirce(Benjamin, 1809~1880年)是此转型期的代表人物。他年轻时帮助Bowditch 校正《天体力学》英译中的评注,使他得以学到法国的数学与物理。1833年升任哈佛大学教授,成为该校数学教育改革的推动者之一。1847年纺织业巨子A. Lawrence 捐款给哈佛大学,成立Lawrence 科学家,由Peirce 担任物理学数学的教授。Peirce 曾是「美国海岸测量处」的处长,也参与「航海历书处」的研究。他还教出一批未来的学者:数学家、天文学家、两位哈佛及一位麻省理工学院的校长,更培育了两位出名的儿子:一位是哈佛大学数学教授(James Mills),另一位是著名的哲学家及逻辑学家(Charles Sanders)。1870年,Peirce 还出版了《线性结合代数》(Linear Associative Algebra);这是第一部美国产有水准的纯数学著作,它在1881年开始受到欧洲数学家的重视。
Peirce 受到的是本土教育,学到的是法国的数学与物理,从事过应用数学的工作,着手过数学教育的改革,培养出优秀的学生,最后使自己进入了世界数学的舞台。他的一生正代表十九世纪美国的数学发展。

从纯数学的观点来看,Peirce 还不是世界级的人物。比Peirce 稍后,十九世纪美国所产生的世界级数学家是Gibbs(1839~1903年)。他的父亲是耶鲁大学的哲学教授,他本身也从耶鲁得到工程学位,然后前往德国转习数学与物理,回美国后在耶鲁大学教书与研究。1881年他在耶鲁开始讲授向量分析,是公认的向量分析的开山祖师。
1880年代美国之开始进入高水准的数学研究,还可以从下面几件事看出来。1876年,铁路大亨Johns Hopkins 创立了以其名为校名,以研究为主导的大学,并从英国请来了世界级的数学家Sylvester(1814~1897年)。在1877到1883年的停留期间,Sylvester 不但教出许多好学生,而且伙同美国的数学界,共同创办了登载原创性论文的《美国数学杂志》(American Journal of Mathematics)。以前也有人试过发行研究性质的数学刊物,但都因素质不良,稿件不全而熬不下去。这份新的刊物,一方面由于Sylvester 的魅力,一方面也因美国数学界已经有此需要,逐渐成长茁壮,一直到现在都还举足轻重。另一份刊物《数学年报》(Annals of Mathematics)也在1884年由维吉尼亚大学出版。这份刊物几经演变,现由普林斯顿大学出版,是世界数学界顶尖的杂志。
1888年以哥伦比亚大学为中心的纽约数学会成立,扩展迅速,到1894年就变成美国数学会(AMS) 这一个全国性的组织。学会发行会刊Bulletin(1894年)、学术杂志Transactions(1900年),举办各种学术活动,出版数学书籍,为美国数学研究的提升注入了组织的力量。学会成立之初的几任会长,不是应用数学家就是学术行政人员。进入了二十世纪后,绝大多数的会长都是学有专精的数学家。这也证明美国在进入二十世纪时,其数学研究环境的树立已大致完成。
1892年,石油大王洛克斐勒捐助的芝加哥大学成立,也是美国数学史上的一件大事。第一任数学系主任RH Moore(1862~1932年)是耶鲁大学的毕业生,他和那一代的许多美国数学家一样,游学过德国,深受当时数学界中心哥丁根大学的世纪级数学家Klein(1849~1925年)的影响。1893年芝加哥举行世界博览会,芝加哥大学趁机发起国际数学会,从欧洲六国请来数学家与会。Klein也应邀参加,并在会后假西北大学做了一连串的学术演讲。国际数学会与Klein的演讲轰动整个美国数学界,芝加哥大学很快就变成美国的数学重镇。Moore本身的研究非常出色,但更重要的是他教出了评多更出色的学生,其中最有名的是Dickson(1874~1954年,研究数论与群论)、Veblen(1880~1960年,研究几何学)及GD Birkhoff(1884~1944年,研究分析学)。日后他们分别在芝加哥大学、普林斯顿大学及哈佛大学带动研究,使这三个地方成为二十世纪上半叶美国的数学重镇 1,而他们本身的研究也是世界级的。美国的数学水准就在他们这一代与欧洲先进国家并驾齐驱,他们的学生也不必再到欧洲游学了。
1930年一个全新构想的研究机构成立了,这是由纽泽西州Newark 地区百货公司巨子Bamberger 捐赠成立的,位于普林斯顿大学附近的高级研究所(The Institute for Advanced Study)。最先设立的是数学院, 既没有大学部也没有研究所的学生,教授聘请的是世界级的学者,另外每年从世界各地招讲学者来共同讨论与研究。最早的数学院教授有Veblen、Morse(1892~1977年)、爱因斯坦(1879~1955年)、von Neumann(1903~1957年)及Weyl(1885~1955年)。除Veblen 及GD Birkhoff 的学生Morse 外,其他三人都是从欧洲来的,也都是世纪级的学者, 都是为了躲避纳粹而来的。纳粹更使许多著名的欧洲数学家纷纷跑到美国的各大小大学寻求庇护所。本身的数学研究已成气候,再加上这一批生力军,美国就在二次世界大战前后,一跃而成为世界数学的超级强国。


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